????律學(xué)
　　
　　????studyoftemperament
　　
　　????研究律制構(gòu)成與應(yīng)用的科學(xué)。
　　
　　????律學(xué)的對(duì)象與任務(wù)律學(xué)須對(duì)音樂(lè)所用的音律進(jìn)行研究。音樂(lè)所用的音絕大多數(shù)是有確定高度的，律制則是以某特定音程為基礎(chǔ)，用數(shù)學(xué)方法規(guī)定的一系列樂(lè)音高度的體系。體系中的每個(gè)單位稱為“律”；音階是按照音程關(guān)系的一定規(guī)格從律制中選擇若干律而構(gòu)成的音列，其中的每個(gè)單位稱為“音”。“音”與“律”合稱“音律”時(shí)，除指律制外，兼指在高度上作精確規(guī)定的所有樂(lè)音。
　　
　　????律學(xué)屬于音響學(xué)音樂(lè)聲學(xué)、數(shù)學(xué)與音樂(lè)學(xué)的交緣學(xué)科。音樂(lè)中所有音高方面的研究都涉及律學(xué)。例如：旋律音程的結(jié)構(gòu)與音準(zhǔn);調(diào)式與和聲理論中的和諧原理;多聲部縱向結(jié)合時(shí)的各種音程關(guān)系；轉(zhuǎn)調(diào)理論；樂(lè)器制造及調(diào)律中的音準(zhǔn)與音位的確定；重唱重奏、合唱合奏中的音準(zhǔn)調(diào)節(jié)；……等等。由于音律是與音樂(lè)本身的存在緊密聯(lián)系的，所以盡管律學(xué)的研究必須通過(guò)物理學(xué)與數(shù)學(xué)的方法，但同時(shí)也還必然涉及世界各民族音樂(lè)中實(shí)際運(yùn)用的音階、調(diào)式，律學(xué)在實(shí)際中的應(yīng)用與發(fā)展等方面，它最終是為音樂(lè)表演的完善、音樂(lè)創(chuàng)作的發(fā)展、音樂(lè)文化的全面提高服務(wù)的。
　　
　　????長(zhǎng)度比、頻率比、周期比與音程值不同的律制由不同的生律法決定的，而生律法則與所選擇的音程及其計(jì)算方法相關(guān)。古代人通過(guò)發(fā)音體(管、弦)的長(zhǎng)度比例關(guān)系來(lái)理解并計(jì)算音程。這比例可用整數(shù)比的形式來(lái)表示,例如,相距純五度的兩音發(fā)音體的長(zhǎng)度，較低者的長(zhǎng)度:較高者的長(zhǎng)度＝3∶2;也可用假分?jǐn)?shù)寫(xiě)出其比值，例如把3∶2寫(xiě)成3/2。相距純四度的,其長(zhǎng)度比是4:3＝4/3。相距純正協(xié)和的大三度的,其長(zhǎng)度比是5∶4＝5/4。這些數(shù)，在古代（中國(guó)、印度、希臘等古國(guó)）都作為長(zhǎng)度比用以計(jì)算音程。到近代，人們開(kāi)始從單位時(shí)間內(nèi)的振動(dòng)數(shù)(頻率)的角度出發(fā),以更精密的方法來(lái)研究音高,因而，音程關(guān)系也通過(guò)頻率比來(lái)理解與計(jì)算。例如，相距純五度的兩個(gè)音,較高者的頻率：較低者的頻率＝3∶2＝3/2。由于頻率與長(zhǎng)度成反比，建立比例式時(shí)只要高低音在前后項(xiàng)的位置顛倒過(guò)來(lái)，所得的比例數(shù)就完全相同，所以古代所用的比例數(shù)在近代仍然是有效的，只是對(duì)于數(shù)字所代表的兩音的高低作了相反的解釋罷了。經(jīng)過(guò)重新解釋以后，同樣這些數(shù)字就成為頻率比了。進(jìn)入現(xiàn)代，又轉(zhuǎn)向微觀的思考，從頻率轉(zhuǎn)到周期。例如振動(dòng)頻率為每秒鐘440次，則振動(dòng)周期為每次1/440秒，這也就是時(shí)間中的波長(zhǎng)。從周期的長(zhǎng)度來(lái)看比例關(guān)系，就重新回到低者較長(zhǎng)而高者較短的對(duì)應(yīng)關(guān)系，與古代所用的長(zhǎng)度比完全吻合了。這樣，上述那些比數(shù)就又可以作為周期比來(lái)用了。
　　
　　????無(wú)論用長(zhǎng)度比、頻率比還是周期比，都有其不便之處：在比較兩個(gè)近似音程的大小時(shí)，必須通過(guò)乘法或除法，不經(jīng)過(guò)一番計(jì)算就不能了解何者較大，大多少，而兩音程相加減，則又必須作乘除運(yùn)算。一個(gè)音程擴(kuò)大到多少倍、劃分成多少等分，則要作乘方、開(kāi)方運(yùn)算。隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展，19世紀(jì)開(kāi)始將對(duì)數(shù)概念引進(jìn)音程的計(jì)量，建立了“音程值”概念。計(jì)算音程值的方法，是把某音程的頻率比值換算成對(duì)數(shù)，并依一定意圖制定某種單位名稱。有了音程值以后，音程的大小就可一目了然，音程加減可用音程值加減來(lái)算，音程擴(kuò)大到多少倍或劃分成多少等分也可用簡(jiǎn)單的乘除法來(lái)算。各國(guó)現(xiàn)多以“音分”為音程值的單位，此為英國(guó)數(shù)學(xué)家兼比較音樂(lè)學(xué)家、語(yǔ)言學(xué)家a.j.埃利斯(1814～1890)所創(chuàng)用。八度的音程值為1200音分,每個(gè)平均律半音為100音分。任何律制中的任何音程的音分?jǐn)?shù)都可根據(jù)頻率比通過(guò)常用對(duì)數(shù)算得：先求出比例常數(shù)，再把各音程頻率比的常用對(duì)數(shù)乘以比例常數(shù),即得。比例常數(shù)是:八度的音分?jǐn)?shù)÷八度頻率比值2的常用對(duì)數(shù)＝1200÷0.30103＝3986.313。如欲求純五度的音分?jǐn)?shù),就把純五度頻率比值(3∶2＝1.5)的對(duì)數(shù)(0.17609)乘以比例常數(shù)：0.17609×3986.313=701.950，常將小數(shù)四舍五入，作702音分。除音分外,音程值的其他單位制尚有“薩瓦爾”，為法國(guó)人f.薩瓦爾（1791～1841）所創(chuàng)用。只要把某音程頻率比值的常用對(duì)數(shù)乘以1000，即得薩瓦爾數(shù)，因此1薩瓦爾≈4音分?！懊軆?yōu)”（μ）即“千分八度”，德國(guó)音樂(lè)學(xué)家h.里曼、音樂(lè)教育家兼語(yǔ)言學(xué)家c.艾愛(ài)茲(1848～1924)都使用這種音程值。把八度計(jì)量為1000個(gè)“密優(yōu)”，因此1密優(yōu)＝1.2音分。“全音”即“六數(shù)八度”，為日本音樂(lè)學(xué)家田邊尚雄所創(chuàng)用。把八度計(jì)量為6個(gè)全音，1全音＝200音分。生律法的自然依據(jù)古代任何民族的生律法所用的長(zhǎng)度比例，都是一些簡(jiǎn)單整數(shù)比，這是有它的自然依據(jù)的。在每一個(gè)樂(lè)音內(nèi)部都存在著一個(gè)基音與一系列泛音的音程結(jié)構(gòu)，這一原理雖然遲至17世紀(jì)才由法國(guó)音樂(lè)理論家m.梅爾塞訥(1588～1648)所發(fā)現(xiàn)，但這一事實(shí)的存在自古已然，對(duì)于原始人類的和諧感已經(jīng)發(fā)生作用。只有當(dāng)兩音的音程關(guān)系符合泛音列中占優(yōu)勢(shì)的音程關(guān)系時(shí)，才使人感到和諧，古代選作生律法依據(jù)的就是這樣一些協(xié)和音程。泛音列又稱諧音列、分音列、倍音列，其音程結(jié)構(gòu)與頻率比例、周期比例（振動(dòng)體長(zhǎng)度比例亦然）
　　
　　????見(jiàn)表1。
　　
　　????講述泛音列構(gòu)造時(shí)，為使音的號(hào)數(shù)與各自的比例當(dāng)數(shù)恰能吻合，就不說(shuō)泛音號(hào)數(shù)，而說(shuō)諧音號(hào)數(shù)。以基音為1號(hào)諧音,第一泛音為2號(hào)諧音,第二泛音為3號(hào)諧音,所有自然產(chǎn)生的生律法所依據(jù)的音程都可以在諧音列中找到：1與2號(hào)諧音之間的八度距離，是任何生律法中都要用到的，純五度是2、3號(hào)諧音的距離，純四度是3、4號(hào)諧音的距離,純正協(xié)和的大三度是4、5號(hào)諧音的距離,阿拉伯音樂(lè)慣用的中三度則符合9、11號(hào)諧音的距離,等等。只是到了律制發(fā)展得較復(fù)雜以后，人們?yōu)榱藢ふ已h(huán)旋宮與自由轉(zhuǎn)調(diào)的可能性,才僅用八度這一種自然音程,而其他所有音程都偏離自然規(guī)范,運(yùn)用開(kāi)方的方法得到,以建立平均律。故人們稱平均律制為“人工律”，而以往各種依據(jù)自然音程的律制則統(tǒng)稱“自然律”。
　　
　　????一、五度相生律
　　
　　????五度相生律在八度關(guān)系倍半相生的前提下，以純五度、純四度兩種音程為生律法的依據(jù)而建立的律制，稱為五度相生律。中國(guó)古代的三分損益律，古希臘按照畢達(dá)哥拉定律法所建立的律制，中世紀(jì)阿拉伯人繼承古希臘文明而在“量音學(xué)”中采用四度相生法以建立的律制,都是如此。假如從c出發(fā),向上五下四度方向生律5次，向上四下五度方向(這不符合三分損益法,是七弦琴上所用的“反生法”,被隋代鄭譯貶斥為“乖相生之道”)生律1次，就得到如下七聲音階(下徵調(diào)新音階)，見(jiàn)表2。
　　
　　????假如按中國(guó)古代傳統(tǒng)，從黃鐘出發(fā)，用“三分損益法”向上五下四度方向輾轉(zhuǎn)生律11次，就得到如下“三分損益律半音音階”，見(jiàn)表3。
　　
　　????在五度相生十二律音階上，半音有兩種：一種是小半音，長(zhǎng)度比是256∶243，音程值為90音分，現(xiàn)代記譜作小二度，古希臘稱為“林瑪”；另一種是大半音，長(zhǎng)度比是2187∶2048,音程值為114音分，現(xiàn)代記譜作增一度，古希臘稱為“阿波托美”。相應(yīng)地，全音也有兩種：一種是大全音（在五聲音階里就有的，普通的），長(zhǎng)度比是9∶8，音程值為204音分;另一種是小全音（兩個(gè)小半音相加所得，無(wú)射正律與黃鐘半律的距離），長(zhǎng)度比是65536∶59049（即□∶□），音程值為180音分。
　　
　　????三分損益輾轉(zhuǎn)相生第12次所得的第13律，長(zhǎng)度略短(音略高)于首律黃鐘，兩者的長(zhǎng)度比是531441∶524288(即□∶□)，音程值為24音分。這就是中國(guó)古代樂(lè)律學(xué)中有名的“仲呂上生不及黃鐘”的問(wèn)題。古希臘的律學(xué)研究者也發(fā)現(xiàn)了這個(gè)音差，稱之為“畢氏音差”。由于這個(gè)音差被發(fā)現(xiàn)的時(shí)代很古，今人稱之為“古代音差”，又稱“最大音差”。京房與錢(qián)樂(lè)之從這偏差走向60律和360律,何承天與朱載□則為彌合這縫隙而走向平均律。
　　
　　????二、純律與中庸全音調(diào)律法
　　
　　????除了用純八、五、四度生律，再增添純正協(xié)和的大三度這一新的音程作為生律法的依據(jù)，而形成的律制，稱為純律。純律不同于五度相生律的主要特點(diǎn)是，由于純律（純正協(xié)和的）大三度略小于五度相生律的大三度，故在其最普通的自然七聲音階中即已存在小全音與大半音。這小全音是純律大三度與大全音之差，5/4÷9/8=10/9，其長(zhǎng)度比是10∶9，音程值為182音分。這大半音是純四度與純律大三度之差，4/3÷5/4=16/15，其長(zhǎng)度比是16∶15,音程值為112音分。
　　
　　????以純律律制構(gòu)成的自然大調(diào)音階見(jiàn)表4。